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TEMA: Razón áurea a partir del hexágono

Razón áurea a partir del hexágono 5 años 3 meses antes #553

  • Jordi Aguadé
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Este tema pretende englobar a todas las marcas de cantería coherentes con la operación de conseguir la razón áurea a partir de un hexágono. Este nuevo tipo de marcas de cantería han sido detectadas en el grupo de trabajo de Facebook por Armando Biendicho.

Adjuntamos el artículo donde se detallan los resultados obtenidos:

Marcas de cantería y geometría
Última Edición: 5 años 2 semanas antes por Rafael Fuster Ruiz.
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Razón áurea a partir del hexágono 5 años 3 meses antes #555

  • Jordi Aguadé
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Marcas de Cantería y Geometría
“Geometría Fabrorum” en el arte de la
construcción en la Edad Media

Durante los últimos años el análisis geométrico de las marcas de cantero se ha convertido en una de nuestras tareas principales en el estudio de este campo. La importancia del conocimiento de la geometría para el constructor medieval es bien conocida. Sirva como muestra el siguiente fragmento, extraído del cuaderno de viajes de un maestro cantero inglés que vivió durante el siglo XIV.

No te extrañes si te digo que toda ciencia vive entera de la ciencia de la geometría. Porque no hay ni artificio ni herramienta que esté hecho por la mano del hombre sino que [todos] están hechos por geometría. Porque si un hombre trabaja con sus manos trabaja con algún tipo de herramienta y no hay ningún instrumento material en este mundo que no provenga de algún tipo de tierra y a la tierra volverá otra vez. Y no hay ningún instrumento, esto es, una herramienta para trabajar que no tenga alguna proporción más o menos. Y la proporción es medida, [y] la herramienta o instrumento es tierra. Y la geometría, se dice, es la medida de la tierra, por tanto puedo afirmar que todos los hombres viven por geometría.

Aunque los errores de lógica en el razonamiento son evidentes, podemos desprender del fragmento que la geometría no era tan sólo una dimensión importante en la vida del maestro cantero, si no mas bien el eje principal que guiaba su forma de percibir y entender el mundo.

De entre todo el abanico de formas con las que nos encontramos cuando nos enfrentamos a las marcas de cantero, siempre hemos preferido realizar el estudio, en cuanto a geometría se refiere, de aquellos ejemplares con cierta complejidad en su diseño. Esto ha sido así porque considerábamos que una marca con una estructura simple en su diseño podía “encajar” con múltiples modelos geométricos sin que en ello hubiera ninguna intencionalidad por parte del cantero. Así pues, hemos venido estudiando las marcas en forma de ballesta, con resultados interesantes, las lambdas y los pentagramas asimétricos dejando de lado aquellas que no tuvieran una complejidad suficiente en su diseño que nos permitiera extraer conclusiones.

Esta forma de trabajo nos ha reportado múltiples resultados, pero ha hecho que dejemos de lado todo un grupo de marcas que, aunque su diseño sea muy simple, presentan cierta asimetría implícita en su diseño, de la que debería ser posible extraer ciertas conclusiones.

En estos últimos días nos hemos encontrado con una marca de este tipo. Dicha marca nos la ha hecho llegar nuestro compañero Armando Biendicho y pertenece a la Cartuja de Scala Dei, en la comarca del Priorato (Tarragona). Como podemos ver en la siguiente imagen, resulta difícil encontrar una marca mas sencilla en estructura que la siguiente.

marcaaspaScalaDei.png

A primera vista se trata de una de las marcas mas sencillas con la que nos podemos encontrar. Si una flecha suele sugerir “dirección”, una aspa acostumbra a indicar “posición”. Por lo tanto, a priori, podríamos pensar que estamos ante una marca de posición o de ensamblaje, utilizada por cantero para indicar alguna cuestión operativa relativa al tallado, posición o ensambladura del sillar. Dicho sea de paso que, también a primera vista, resulta poco probable que se trate de una marca de autoría, debido también a la extrema sencillez en el diseño.

De todos modos, aunque se tratara de una marca con función operativa, sorprende la poca destreza por parte del cantero a la hora de ejecutarla. En primer lugar, vemos que el punto de corte está muy desplazado hacia los extremos de los segmentos, y por otro lado observamos que el ángulo de corte es excesivamente abierto. ¿Por qué estos defectos en la ejecución de la marca?

Una posible respuesta podría ser que, dado la poca trascendencia de dicha marca, el cantero no se esmeró demasiado a la hora de labrarla, y es por eso que aparece tan “mal hecha”. Esto podría ser así y no habría mas que hablar al respecto. Lo sorprendente resulta con qué nos encontramos cuando medimos estas asimetrías en la marca.

Por un lado, el ángulo de corte no es cualquier ángulo, si no que se trata, con una exactitud sorprendente, del ángulo interior de un hexágono (120º). Por otro lado, el punto de corte tampoco parece ser debido al azar, pues la relación entre la longitud de los segmentos y el largo del fragmento mayor resultado del corte se corresponde con la raíz cuadrada de dos. Veamos en la siguiente imagen la correspondencia geométrica entre la marca y el hexágono:

marcaaspascaladeihexagono.png

De todos modos, y aún teniendo en cuenta las correspondencias geométricas que hemos detectado, uno podría achacar este resultado al azar. De hecho, sería lo mas razonable, pues como hemos dicho, la simplicidad en la estructura de una marca puede posibilitar que esta se acomode a múltiples modelos geométricos sin que en ello haya ningún tipo de intencionalidad por parte del cantero que la labró, y por lo tanto, sin que podamos extraer ninguna información al respecto. Ahora bien, el tema de complica si dicho modelo geométrico no es un modelo cualquiera.

Es decir, uno puede ponerse a medir los ángulos y longitudes de segmentos de cualquier marca y encontrar, casi con total seguridad, números y relaciones aparentemente interesantes. Pero dichos resultados carecerán de cualquier valor si además no somos capaces de contextualizar dichas relaciones encontradas con algún tipo de modelo geométrico conocido, y que a su vez, tal vez nos permita contextualizar la marca en el mismo templo.

Pero en nuestro caso, tal como hemos dicho, no nos encontramos ante una relación geométrica cualquiera, si no ante un modelo que relaciona las dos proporciones mas estimadas por el constructor medieval. A saber, la raíz cuadrada de 2 y la proporción áurea. Para entender este punto, fijémonos en el desarrollo geométrico siguiente.

  1. Partamos del hexágono inscrito en un círculo de radio (r=1), y dibujemos un cuadrado en 2 lados contiguos del hexágono y a continuación tracemos las diagonales de los cuadrados abatiéndolas sobre los lados del hexágono

    movimiento4_2014-05-31_2014-06-26.jpg

  2. Obtenemos la siguiente figura, coincidente con la estructura geométrica de la marca de cantero.

    movimiento4_2014-05-31_2014-06-26.png
  3. Ahora, volvamos a levantar las dos diagonales, hasta que coincidan sus extremos.

    movimiento5_2014-05-31.png
  4. Lo que obtenemos es un triángulo donde se relacionan 1, raíz de 2 y Phi a través del ángulo 60º. En otras palabras, estamos ante el método para encontrar la razón áurea a partir del hexágono.

    movimiento6_2014-05-31.png
Así pues, aunque sigue siendo factible achacar al azar el diseño de la marca, éste parece coincidir con un desarrollo geométrico notable, y por lo tanto resulta lógico que aceptemos la posibilidad que dicha marca y el modelo geométrico en cuestión estén relacionados.

Si aceptamos que dicha marca de corresponde con el modelo geométrico descrito, lo mas lógico sería encontrar dicho modelo en marcas de otros templos. Así pues, el siguiente paso fue buscar otras marcas de cantería que presentasen esta relación geométrica. Si éramos capaces de encontrarlas, estaríamos en condiciones de afirmar que dicho trazado geométrico formaría parte de los utilizados en el mundo de la construcción de la edad media. Para ello nos servimos del trabajo de recopilación de Simeón Hidalgo Valencia.

El primer resultado lo encontramos en el monasterio de Fitero. Tal como podemos ver en la siguiente imagen, correspondiente a un lapidario recogido por Simeón Hidalgo Valencia en su libro "Canteros románicos por los caminos de Navarra. Tomo I", si bien es cierto que el segmento principal no coincide con el centro del hexágono, si que encontramos una correspondencia exacta entre la punta de la flecha y el modelo geométrico estudiado:

marcacanteraFtero_2014-05-31_2014-05-31.png

Pero el resultado mas concluyente lo encontramos en la siguiente marca perteneciente a San Pedro de Olite:

marcacanteraanguloolite_2014-05-31.gif

Esta marca está registrada en el catálogo de Simeon Hidalgo como “ángulo” o “escuadra”. Si superponemos la marca sobre nuestro modelo geométrico podemos observar una correspondencia exacta:

marcacanteraanguloolitehexgono_2014-05-31.png

Si bien sigue siendo posible atribuir al azar las coincidencias entre el diseño de la marca y el modelo geométrico, la acumulación de resultados nos hacen pensar que la hipótesis que estemos ante una operación propia de la Geometría Fabrorum empieza a tomar cuerpo. De hecho, ¿Qué probabilidad hay de dibujar un ángulo al azar y que el ángulo sea de 82º y la relación entre longitudes entre los segmentos sea a su vez la raíz cuadrada de 2? La respuesta es realmente baja.

© Jordi Aguade Torrel y Rafael Fuster Ruiz

Bibliografía

Simeón Hidalgo Valencia, Canteros románicos por los caminos de Navarra. Tomo I.
Última Edición: 4 años 7 meses antes por Rafael Fuster Ruiz.
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Razón áurea a partir del hexágono 5 años 3 meses antes #556

  • Jordi Aguadé
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De todos modos, podemos ir mas allá. Imaginemos que dicha “escuadra” hubiera sido utilizada en el trazado de San Pedro de Olite. Por un lado, dicho “artefacto geométrico” nos ofrece la relación entre la unidad, la raíz de 2 y la razón áurea. Por lo tanto, sería de esperar que encontráramos, de alguna u otra manera, dichas relaciones en el templo.

proporciones.png

Si nos fijamos en la proyección en planta de Olite los resultados no se hacen esperar. Si empezamos a calcular las proporciones principales del templo, observamos que la razón Phi y raíz de 2 aparecen con bastante facilidad. Pero tal vez la mas interesante es la relación entre la longitud del templo, incluyendo la cabecera, respecto a la longitud de la nave principal. Haciendo este cálculo nos aparece la proporción esperada:

plantasanpedroOliteproporcionesprincipales.png

De todas formas, el que tal vez sea el resultado mas interesante aparece cuando nos fijamos en las proporciones del templo en sus dos etapas constructivas. Por un lado tenemos la nave románica cuya planta tiene una proporción de raíz de 2. Por otro lado, la reconstrucción gótica tiene una proporción de Phi:

plantasanpedrooliteproporcionraiz.jpg

¿Qué conclusión podemos extraer de este hecho?

En primer lugar debemos ser consciente del terreno resbaladizo en el que nos movemos. La ausencia de documentación escrita de la época hace que en el mundo de las marcas de cantería sea muy peligroso sentar cátedra. De todos modos, y a tenor de los hechos citados, consideramos como plausible la siguiente hipótesis:

  • Existe una operación geométrica que relaciona las magnitudes Raíz de 2 y Phi a través de la unidad y la geometría implícita del hexágono.

  • La existencia de marcas coherentes con este modelo nos hace pensar que tal vez dicha operación era conocida por los constructores medievales.

  • La proporción principal del templo original románico en San Pedro de Olite es raíz de dos.

  • Por otro lado, la reconstrucción gótica modificó las proporciones de la nave principal hasta convertirá en la razón áurea.

  • Por lo tanto, es plausible pensar que la “escuadra” de San Pedro de Olite puede ser una representación de la “herramienta geométrica” que se utilizó en la reconstrucción gótica para, respetando el ancho de la nave principal, transformar la proporción principal de templo de raíz de 2 a la proporción áurea.

  • Finalmente, ¿podemos inferir alguna conclusión para el caso de Scala Dei? A falta de datos mas concretos no podemos deducir muchas consecuencias, pero de bien seguro, con el tiempo, dispondremos de la información necesaria para analizar el templo y redactar la segunda parte de este trabajo. Tan sólo apuntar que un estudio superficial apunta en la buena dirección, pues en el claustro interior observamos que también aparece la “escuadra” de San Pedro de Olite. Misma geometría, idénticos principios.


    PlantaScalaDeiProporcion.png

    © Jordi Aguade Torrel y Rafael Fuster Ruiz
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    Última Edición: 4 años 7 meses antes por Rafael Fuster Ruiz.
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    Razón áurea a partir del hexágono 5 años 3 meses antes #557

    • Rafael Fuster Ruiz
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    No son los mismos ángulos que la marca de cantero de la Cartuja de Scala Dei, pero es interesante la operación geométrica descrita sobre el uso del "collapsing compass".

    Untitled-1_2014-06-03.jpg

    Geometric Constructions and their Arts in Historical Perspective, Reza Sarhangi. Department of Mathematics, Towson University.Towson, Maryland, 21252, USA E-mail: Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.


    Nota

    Compass and straightedge constructions are used to illustrate principles of plane geometry. Although a real pair of compasses is used to draft visible illustrations, the ideal compass used in proofs is an abstract creator of perfect circles. The most rigorous definition of this abstract tool is the "collapsing compass"; having drawn a circle from a given point with a given radius, it disappears; it cannot simply be moved to another point and used to draw another circle of equal radius (unlike a real pair of compasses). Euclid showed in his second proposition (Book I of the Elements) that such a collapsing compass could be used to transfer a distance, proving that a collapsing compass could do anything a real compass can do. Fuente Wikipedia.
    "Ars sine scientia nihil est", atribuido a Jean Mignot, siglo XIV.
    Última Edición: 4 años 11 meses antes por Rafael Fuster Ruiz.
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    Razón áurea a partir del hexágono 5 años 3 semanas antes #571

    • Jordi Aguadé
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    nouapunt.png

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